XXXVII OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA

MURCIA 2001

Primera sesión (23 de marzo)

1.-  Probar que la gráfica del polinomio P(x) es simétrica respecto del punto A(a,b) si y sólo si existe un polinomio Q(x) tal que:

.

2.- Sea P un punto en el interior del triángulo ABC, de modo que el triángulo ABP verifica:

AP =BP

Sobre cada uno de los otros dos lados de ABC se construyen exteriormente triángulos BQC y CRA, ambos semejantes al triángulo ABP cumpliendo:

BQ = QC y CR = RA

Probar que los puntos P, Q, C y R o están alineados o son los vértices de un paralelogramo.

3.- Se tienen cinco segmentos de longitudes a₁, a₂, a₃, a₄ y a₅ tales que con tres cualesquiera de ellos es posible construir un triángulo.

Demostrar que al menos uno de esos triángulos tiene todos sus ángulos agudos.

Segunda sesión (24 de marzo)

4.-  Los números enteros desde 1 hasta 9 se distribuyen en las casillas de una tabla 3x3.

Después se suman seis números de tres cifras: los tres que se leen en filas de izquierda a derecha y los tres que se leen en columnas de arriba abajo.

¿Hay alguna distribución para la cual el valor de esa suma sea 2001?

5.- ABCD es un cuadrilátero inscrito en una circunferencia de radio 1 de modo que AB es un diámetro y el cuadrilátero admite circunferencia inscrita.

Probar que: .

6.- Determinar la función f : N --> N (siendo N = {1,2,3,...} el conjunto de los números naturales) que cumple, para cualesquiera s, n pertencientes a N, las siguientes condiciones:

f (1) = f (2^s) = 1 y si n < 2^s, entonces f (2^s + n) = f (n) + 1.

Calcular el valor máximo de f (n) cuando n <= 2001.

Hallar el menor número natural n tal que f (n) = 2001.