XXXVII OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA

MURCIA 2001


 

Primera sesión (23 de marzo)

 

1.-  Probar que la gráfica del polinomio P(x) es simétrica respecto del punto A(a,b) si y sólo si existe un polinomio Q(x) tal que:

.

 

Solución manuscrita de:

Javier Cóppola Rodríguez

Solución formal

Comisión de Olimpiadas

 

 

2.- Sea P un punto en el interior del triángulo ABC, de modo que el triángulo ABP verifica:

AP =BP

Sobre cada uno de los otros dos lados de ABC se construyen exteriormente triángulos BQC y CRA, ambos semejantes al triángulo ABP cumpliendo:

BQ = QC y CR = RA

Probar que los puntos P, Q, C y R o están alineados o son los vértices de un paralelogramo.

 

 

Solución manuscrita de:

Roc Maymo Camps

Solución formal

Comisión de Olimpiadas

 

3.- Se tienen cinco segmentos de longitudes a1, a2, a3, a4 y a5 tales que con tres cualesquiera de ellos es posible construir un triángulo.

Demostrar que al menos uno de esos triángulos tiene todos sus ángulos agudos.

 

Solución manuscrita de:

Martí Prats Soler

Solución formal

Comisión de Olimpiadas

 

Segunda sesión (24 de marzo)

 

4.-  Los números enteros desde 1 hasta 9 se distribuyen en las casillas de una tabla 3x3.

Después se suman seis números de tres cifras: los tres que se leen en filas de izquierda a derecha y los tres que se leen en columnas de arriba abajo.

¿Hay alguna distribución para la cual el valor de esa suma sea 2001?

 

Solución manuscrita de:

Fernando Cruz Robledillo

Solución formal

Comisión de Olimpiadas

 

5.- ABCD es un cuadrilátero inscrito en una circunferencia de radio 1 de modo que AB es un diámetro y el cuadrilátero admite circunferencia inscrita.

Probar que: .

 

 

Solución formal

Comisión de Olimpiadas

 

6.- Determinar la función f : N --> N (siendo N = {1,2,3,...} el conjunto de los números naturales) que cumple, para cualesquiera s, n pertencientes a N, las siguientes condiciones:

f (1) = f (2s) = 1 y si n < 2s, entonces f (2s + n) = f (n) + 1.

Calcular el valor máximo de f (n) cuando n <= 2001.

Hallar el menor número natural n tal que f (n) = 2001.


Solución manuscrita de:

Luis Hernández Corbato

Solución formal

Comisión de Olimpiadas